Um PROBLEMA não existe fora de suas SOLUÇÕES – Os PROBLEMAS são sempre DIALÉTICOS

Diferença e Repetição:

“Um PROBLEMA não existe fora de suas SOLUÇÕES.

Mas, em vez de desaparecer,
ele insiste e persiste nas SOLUÇÕES que o recobrem.

Um PROBLEMA se determina ao mesmo tempo em que é resolvido;
mas sua determinação não se confunde com a SOLUÇÃO:

os dois elementos diferem por natureza,
e a determinação é como que a gênese da SOLUÇÃO concomitante.

(É assim que a repartição das singularidades
pertence completamente às condições do PROBLEMA,
ao passo que sua especificação
já remete às SOLUÇÕES construídas sob estas condições.)

O PROBLEMA é ao mesmo tempo

  1. transcendente
  2. imanente

em relação a suas SOLUÇÕES.

1. Transcendente,
porque consiste num sistema
de ligações ideais
ou de relações diferenciais
entre elementos genéticos.

2. Imanente,
porque estas ligações ou relações
se encarnam nas correlações atuais
que não se assemelham a elas
e que são definidas pelo campo de SOLUÇÃO.

“Ninguém melhor do que Albert LAUTMAN, em sua admirável obra,
mostrou que os PROBLEMAS eram antes de tudo Idéias platônicas,
ligações ideais entre noções DIALÉTICAS,
relativas a “situações eventuais do existente“;

mas também que eles se atualizam nas correlações reais
constitutivas da SOLUÇÃO procurada
num campo matemático ou físico etc.

É neste sentido, segundo LAUTMAN,
que a ciência participa sempre de uma DIALÉTICA que a ultrapassa,
isto é, de uma potência metamatemática e extra-proposicional,
se bem que esta DIALÉTICAencarne suas ligações
nas proposições de teorias científicas efetivas .

Os PROBLEMAS são sempre DIALÉTICOS;

eis por que, quando a DIALÉTICA “esquece”
sua relação íntima com os PROBLEMAS enquanto Idéias,
quando ela se contenta em decalcar os PROBLEMAS sobre as proposições,
ela perde sua verdadeira potência
para cair sob o poder do NEGATIVO
e substitui necessariamente a objetividade ideal do problemático
por um simples confronto de proposições opostas, contrárias ou contraditórias.

Longa desnaturação que começa com a própria DIALÉTICA
e encontra sua forma extrema no HEGELIANISMO.

Mas, se é verdade
que o que é DIALÉTICO, por princípio, são os PROBLEMAS,
e o que é CIENTÍFICO são suas SOLUÇÕES,

devemos distinguir de maneira mais completa:
1) o PROBLEMA, como instância TRANSCENDENTE;
2) o campo simbólico, em que se exprimem as CONDIÇÕES do PROBLEMA
em seu movimento de IMANÊNCIA;
3) o campo de resolubilidade científica,
em que se encarna o PROBLEMAS
e em função de que se define o simbolismo precedente.

Somente uma teoria geral
do PROBLEMA
e da síntese ideal correspondente
poderá precisar a relação entre estes elementos.”


Ora, de outra maneira, também
as Matemáticas modernas
deixam-nos na antinomia,
porque a estrita interpretação finita que elas dão do cálculo
não deixa de supor um axioma do infinito na teoria dos conjuntos
em que elas se fundam,
embora este axioma não encontre ilustração no cálculo.

O que sempre nos escapa é o elemento
extra-proposicional
ou sub-representativo
que a Idéia exprime pelo diferencial,
no modo preciso do problema.

Por DIALÉTICA,
de modo algum entendemos
uma circulação qualquer de representações OPOSTAS,
circulação que as faria coincidir na identidade de um conceito;

por DIALÉTICA, entendemos o elemento do PROBLEMA,
na medida em que ele se distingue
do elemento propriamente matemático das SOLUÇÕES.

Em conformidade com as teses gerais de LAUTMAN,

o PROBLEMA tem três aspectos:
1) sua DIFERENÇA DE NATUREZA com relação às soluções;
2) sua TRANSCENDÊNCIA em relação às soluções que ele engendra
a partir de suas próprias condições determinantes;
3) sua IMANÊNCIA às soluções que vêm recobri-lo,
sendo o PROBLEMA tanto melhor resolvido quanto mais ele se determina.

Portanto, as ligações ideais constitutivas da Idéia problemática (dialética)
encarnam-se, aqui, nas correlações reais
constituídas pelas TEORIAS matemáticas
e dadas como SOLUÇÕES aos PROBLEMAS.”

11 Albert LAUTMAN,
Essai sur les notions de structure et d’existence en mathématiques
(Hermann, 1938), t. I, p. 13; t. II, p. 149

(“o único elemento a priori que concebíamos
é dado na experiência desta urgência dos PROBLEMAS,
anterior à descoberta de suas SOLUÇÕES…”). –

E sobre o duplo aspecto das Idéias-problemas,
transcendência e imanência,

cf. Nouvelles recherches sur la structure dialectique des mathématiques
(Hermann, 1939), pp. 14-15.
P.169

( BOOK III New Research on the Dialectical Structureof Mathematics

p. 196)

Albert LAUTMAN salientou esta diferença de natureza entre

a existência ou a repartição dos pontos singulares,
que remetem ao elemento PROBLEMA,

e a especificação destes mesmos pontos,
que remetem ao elemento SOLUÇÃO:

cf. Le problème du temps (Hermann, 1946), p. 42.
Ele sublinha, então,  o papel dos pontos singulares
em sua função problematizante,
geradora de soluções:

os pontos singulares,
“1.°, permitem a determinação
de um sistema fundamental de soluções prolongáveis analiticamente
por todo o caminho que não reencontra singularidades;
2.°, … seu papel é decompor um domínio,
de modo que a função que assegura a representação seja definível sobre este domínio;
3.°, eles permitem a passagem
da integração local das equações diferenciais
à caracterização global das funções analíticas,
que são soluções destas equações”

(Essai sur les notions de structure e d’existence en mathématiques, Hermann. 1936, t. II, p. 138).
P.170

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